正好前几天聊到了极限。我之前一直想对高等数学，也就是微积分上下册写一份总结，从我的视角介入对目前数学知识体系的一些思考。但是受限于我有一些未经验证的猜测。这件事一直被搁置。实际上在我的大脑里，我基本已经对这个系统完成了建模。但是我不知道要如何用简单的语言表达出来。好在现在有人工智能。在这个大框架下，所有的内容都是通过推理和思考的出来，基本上到最后你只要和教科书比对印证一下推理结果。这个结果有可能是正确的，有可能是错误的，或者规定的记号甚至会有差异……这些都无所谓，并不影响实际的使用。实际使用的时候以现有的体系为准即可。
实际上，我们在高中就有学过初步的微积分。这部分知识在和微积分（上）的知识有着很大一部分的重叠，也就是一元函数的微分学和积分学。这部分知识包括了，极限、导数、不定积分、定积分和微积分基本定理。这部分无需再赘述。但是后面我会用另外一个新的视角重新整理。
而真正属于大学的部分是随着问题推广引出的多元函数的微分，这是非常重要的部分随着“维度”的升高，问题的规模会指数级别的上升。我们现在就从这个部分切入。
ps：我翻过高等数学二，如果你按教材学，大概率会学成麻瓜……教材只能当字典用
关于维度的认识最早是在初中完成的，以前有以一句话叫做点动成线，线动成面，面动成体，体动……？
现在思考一个单值的二元函数 y = f(x1,x2)或者一个多元函数y = f(x1,x2,x3…xn)
备注：什么叫做单值？也就是一个输入对应一个唯一确定的输出。这是函数的基本定义。但是实际上，随着后续问题的深入，你会发现函数这样设计其实是有一点不方便的，比如你不能把圆的方程当成一个函数来研究，而是要分成上下两部分。这在后续对某些问题的研究中，实际上后续数学家试图有去推翻或者修正这个设计引出了新的东西。为什么会有问题呢，因为微积分的运算是构建在函数的基础上的。实际上微积分就是针对函数的运算，而函数本身的设计缺陷，自然导致计算过程中会遇到这个问题。
扯回来，我们可以从现在开始推广：
一个一元函数 y = f(x)
它的图像是在二维空间里的，点为(x,y)，是一个曲线
它的导函数是是这个函数切线的斜率函数（瞬时变化率函数） [f(x)] = dy/dx = f(x)
它的定积分是曲线下限定范围a,b的面积 S a到b f(x)*dx
这是我们已知的知识。那么推广到二维呢，一个二元函数y = f(x1,x2)，对应填空的话
它的图像是在__维空间里的，点为(,,)，是一个___①
它的“导函数”是这个函数___的___函数，它的符号是___②
它的“定积分”是___下限定范围（，）的，它的符号是___③
emmm，理论上，按直觉推管是这样下来的对叭？但是实际上问题规模比这个要复杂。
首先是图像，二元函数的图像在三维空间里，它有三个坐标轴(x,y,z)，习惯上为了绘制图像方便，我们把因变量放在z轴上，也就是竖坐标上。自变量x1,x2分列与x轴和y轴。于是第①个填空：
它的图像是在3维空间里的，点为(x1,x2,y)①
那么，研究函数的图像自然还是老三样，列表、描点、连线，只不过在空间中绘制稍微麻烦一些。基本上我们在xOy平面上绘制好自变量的点后，用一定的高度y把它们升高，这些点就会浮在不同高度的空中，于是它们会构成一个——曲面。而且由于函数的单值特性，这个曲面一定不是闭合的
它的图像是在3维空间里的，点为(x1,x2,y)，是一个曲面①
由于问题①的变化，直接导致了问题②的变化。现在思考，曲线的切线函数是导函数
那么曲面的“导函数”是什么样的呢？
或者说，曲面的切面是___?
同时你还会发现，因为到了三维世界，类比二维的情况我们不得不研究一些——曲面的方程
直线方程->平面的方程
圆的方程->球面的方程
椭圆的方程->椭球面的方程
抛物线的方程- 双曲抛物面的方程
双曲线的方程->单叶双曲面 / 双叶双曲面
于是你会发现，我们得把高中以下学的全部二维空间的东西，转化到三维空间里全部学一遍……
没错这就是基本思路。那么这有什么实际意义吗？你可能直接联想到了3D游戏，没错这就是最直接的应用。然而由于我的开发基本没有涉及到三维，所以我没有去详细了解。做计算机二维以下的开发，靠高中的数学知识基本就足够用了。
回过来继续思考问题②，也就是关于空间中的曲面的“导数”。
这里有一个小技巧。因为空间中有3个量，同时研究是难以做到的。所以我们可以用一个中学里常用的方法——控制变量法。
我们依然习惯于研究2个量之间的变化，那就先让第三个量固定不动。那么对于函数y = f(x1,x2)如果我们让x1暂时不动，也就是把它当做参数看待，就会变成 y = f(x2) （x1变成参数了，不再是自变量了）。这就直接变成了一个普通的一元函数，我们可以正常求导：
df(x2)/ dx2
那么这是个什么玩意儿？如果你试图观察图像的话，你做这样的想像：
因为固定了x1，所以在x,y,z图像里，整个x轴，也就是x1所在的那个轴都锁死了坐标，在这种情况下，我们捕获的坐标点都是类似
(3,x1,y) ——如果固定成3的话。当然我们习惯固定的这个值也用代数，比如固定成a
(a,x1,y)——坐标就变成这样了
那么在原有函数图像的基础上，提取出固定了一个轴的坐标点，这些点会构成什么图形呢？
现在想像有一个平行于yOZ平面的平面，把它平移到x1=a处，和这个空间曲面相交到到一条曲线上（交线）
我们求导函数的结果，就是这个交线的切线的斜率函数。并且为了方便画图，我们可以把它投影到yOZ平面上画出来。
好了现在我们拿到了一个空间中的关于“线”的“导数”。呃但是我们前面好像要的是“曲面”的切面……现在距离有点远……没错就是前面提到的，三维空间的复杂度是指数级增加的原因，它还会叠加出二维的东西。一个自然的想法是，我们能不能用所有的切线的导函数的集合，来代表整个“曲面”的切面的“斜率”呢？不知道，这是一个猜测，我们后续讨论。
所以实际上二元函数的导数因为多了一个维度的增加，不止一种导数情况……
先暂停一下。以上过程是我们的纯粹推理，但是现在可以翻教材来印证我们的猜测了。你一定会看到类似的东西，教材对这种固定了一个变量的导数的情形设计了单独的符号，并且把它命名为“偏导数”。此时以教材的符号为准即可。
同理，固定x2我们也能得出一个导函数……
呃，然后现在有一个问题，思考到参数方程的原理，你说我能不能斜45度固定呢？
为什么会这样想呢，因为我们的切割平面都是平行于坐标平面的，那如果是随便什么角度的平面也来切割呢？这种情况一定是存在的，因为你总能切割出一条曲线。既然存在，那就一定有符号能表示它和它的导数。
于是现在继续打开教材印证猜测，你可以看到一个新的东西叫做“方向导数”，至于怎么做到，可以利用三角参数方程，这里篇幅限制不做讨论。
……
然后回到前面的问题：
我们能不能用所有的切线的导函数的集合，来代表整个‘曲面’的切面的‘斜率’呢？
答案是：不需要“所有”，只需要这两条就够了。
几何公理告诉我们：两条相交直线，确定一个平面。
既然我们在曲面上的任意一点 P，已经找到了两条曲线和它们的切线（一条x1方向的切线，一条是x2方向的切线），它们都经过点P。那么，由这两条切线确定的那个平面，自然就是这个曲面在点某点处的切平面。
注意前面为了避免一些歧义，我都用导函数，切线函数，来表名这是一系列的点对应的切线和它们的斜率，而不是某个点处切线的斜率。我没有具体到某个点上，而是直接用了整个函数。但是现在为了便于理解，我们必须回到具体的点上。
那么这个平面的方程是什么呢？ （全微分+y0）
如何刻画这个平面的倾斜程度呢？ （法向量）
由于涉及到平面方程的概念，这里我说不清楚，直接看图吧
由平面方程的相关概念得知平面的倾斜程度由平面的法向量刻画
这个平面的方程 = 函数在点P处的全微分+y0
如图下所示:
最后我们回到问题2
它的“导数”是这个函数切平面的全微分函数，它的符号是d（x1,x2） = (∂y/∂ x1) * dx1 + (∂ y/∂ x2) * dx2
注意牛顿求导符号没有继承过来
最后是问题3，这个推导过程也用了控制变量法，这里不多赘述（主要感觉太多我写不下去了，反正基本思路就是这样把高中知识继承下来）：
二维一元函数——它的定积分是曲线下限定范围a,b的面积 S a到b f(x)*dx
三维二元函数——它的“定积分”是曲面下限定范围（平面区域 D）的 体积，它的符号是 二重积分SSD f(x1,x2)dx1dx2
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还有很多东西……我也许会写一个续章，也许不会。
